發(fā)布時間：2018-07-13 21:15

【摘要】：壓縮感知作為Rn空間上的稀疏優(yōu)化問題,旨在從被噪聲污染或部分丟失的觀測數(shù)據(jù)中恢復(fù)原始數(shù)據(jù),在信號處理、圖像去噪、醫(yī)學(xué)成像等方面有著廣泛的應(yīng)用.近幾年,壓縮傳感已經(jīng)得到了深入的研究和快速的發(fā)展.隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展,需要存儲、處理與分析的數(shù)據(jù)常常規(guī)模大、維度高、結(jié)構(gòu)復(fù)雜,如人臉圖像、監(jiān)控視頻、生物信息數(shù)據(jù)等.因此,本文著眼于壓縮感知應(yīng)用到復(fù)雜高維數(shù)據(jù)上而形成的稀疏優(yōu)化問題,包括含有線性等式與不等式約束的稀疏解問題、低秩矩陣恢復(fù)問題、低秩張量恢復(fù)問題,使用壓縮感知中的松弛逼近方法,解決NP-難的原問題.目前對于松弛問題的算法設(shè)計已經(jīng)得到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注,但關(guān)于保證精確恢復(fù)的條件還沒有很多的研究.本文對延伸的稀疏優(yōu)化問題的精確恢復(fù)條件進行了系統(tǒng)的研究,并取得了如下成果:1.考慮絕對值方程組稀疏解的精確恢復(fù)條件,采用絕對值方程組與雙線性規(guī)劃的等價變形,在某種特殊情形下,求解絕對值方程組稀疏解的問題等價轉(zhuǎn)化為含有線性等式與不等式約束的l0極小化問題.基于值域空間性質(zhì)的分析,得到了該問題凸松弛的最優(yōu)解存在唯一的條件,隨后又證明了在此條件下,原問題與其凸松弛等價.根據(jù)這一研究方法與結(jié)果的啟示,我們又圍繞含有一般等式與不等式的線性約束的稀疏優(yōu)化問題,討論了這一問題的精確恢復(fù)條件,并通過一些例子驗證了這一理論結(jié)果的正確性.2.討論低秩矩陣恢復(fù)問題通過非凸的Schatten-p擬范數(shù)極小化問題精確恢復(fù)的條件,給出了保證成功恢復(fù)的一個p-RIP條件,并且證明了多少數(shù)目的觀測值可以使得p-RIP條件以極高的概率被遇到.3.圍繞低秩張量恢復(fù)問題,將低秩矩陣恢復(fù)問題中的三類精確恢復(fù)條件推廣到張量空間中.之后,我們考慮一種同時包含無噪聲和有噪聲的低秩張量恢復(fù)模型,稱為最小n-秩逼近,提出了求解該問題的一種迭代硬閾值算法,并且證明了該算法對于無噪聲的情形在某些條件下以1/2的速率全局線性收斂,而對有噪聲的情形迭代序列和真實值的距離是快速下降的.數(shù)值實驗驗證了這一理論結(jié)果,并且表明該算法對于求解低n-秩張量填充問題快速、有效.
[Abstract]:As a sparse optimization problem in rn space, compressed sensing is aimed at recovering raw data from noisy or partially lost observation data. It has been widely used in signal processing, image denoising, medical imaging and so on. In recent years, compression sensing has been deeply studied and developed rapidly. With the development of modern information technology, the data needed to be stored, processed and analyzed are often large scale, high dimension and complex structure, such as face image, surveillance video, biological information data and so on. Therefore, this paper focuses on sparse optimization problems resulting from the application of compressed sensing to complex high-dimensional data, including sparse solution problems with linear equality and inequality constraints, low-rank matrix restoration problems and low-rank Zhang Liang restoration problems. The relaxation approximation method in compressed sensing is used to solve the NP-hard problem. At present, the algorithm design of relaxation problem has been widely concerned by scholars, but there is not much research on the condition of guaranteeing accurate recovery. In this paper, the exact restoration conditions for the extended sparse optimization problem are systematically studied, and the following results are obtained: 1. Considering the exact restoration condition of sparse solutions of absolute value equations, the equivalent deformation of absolute value equations and bilinear programming is adopted. The problem of solving the sparse solutions of absolute value equations is equivalent to the l0 minimization problem with linear equality and inequality constraints. Based on the analysis of the properties of the range space, the existence and uniqueness conditions of the optimal solution for the convex relaxation of the problem are obtained, and then it is proved that the original problem is equivalent to its convex relaxation under this condition. According to the enlightenment of this research method and the results, we discuss the exact recovery condition of the problem around the sparse optimization problem with linear constraints of general equality and inequality. Some examples are given to verify the correctness of the theoretical results. 2. In this paper, we discuss the exact restoration condition of the low rank matrix restoration problem by non-convex Schatten-p quasi-norm minimization problem, and give a p-RIP condition to guarantee the successful recovery. It is also proved that the p-RIP condition can be encountered with a very high probability by the number of observations. In this paper, three kinds of exact restoration conditions for low rank Zhang Liang restoration problems are generalized to Zhang Liang spaces. Then we consider a low rank Zhang Liang restoration model with both noise-free and noise-free, which is called minimum n- rank approximation, and propose an iterative hard threshold algorithm for solving this problem. It is also proved that the algorithm converges globally linearly at a rate of 1 / 2 under certain conditions for noise-free cases, but the distance between the iterative sequence and the real value in the case of noise decreases rapidly. Numerical experiments verify the theoretical results and show that the algorithm is fast and effective for solving the low nrank Zhang Liang filling problem.
【學(xué)位授予單位】：天津大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：TP391.41

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本文編號：2120763