摘要：數學教學中的信息技術應定位于數學功能基礎上的教學工具，以反映數學學科特性。數學教學需要注重圖形圖像呈現、數值計算、符號運算以及編程等基本數學功能。數學功能基礎上的教學加工大致有封閉與開放兩種方式。教師要能充分發(fā)揮各類功能的優(yōu)勢，以幫助學生理解學習內容為目的，將數學教學與信息技術有機融合。

 

    關鍵詞：數學教學，信息技術，數學功能
 

    一、引言

    信息技術的飛速發(fā)展是改進數學教學的重要機遇。但是我們不應當把信息技術停留在評價、熱情支持以及懷有希望的階段，而應該進行一些實在分析，只有這樣才能真正地解決某些教學問題[1]。深入數學學科的信息技術[2]、整合技術的學科教學知識（簡稱TPACK）[3]等理念有助于我們更好地理解數學教學中的信息技術。這些理念主要體現在兩個方面：首先，要不要用技術、用什么技術以及如何用技術需要考慮具體內容的教學及課堂情境，力求使課內與課外、教師傳授與學生自主探究達成一種平衡。也就是說，信息技術的使用是一個劣構問題。教師僅僅了解一般教育技術的原理、策略還不夠。其次，為了充分體現信息技術的數學教育價值，教師對數學學科的信息技術本身要有較為深入的理解與掌握，以便信息技術與課程的互動能達到流暢程度。盡管讓教師在教育和技術之間穿梭并不容易，但掌握技術不是別人的事情。為了能更好地貫徹這兩個理念，我們認為，數學教學中的信息技術是數學功能基礎上的教學工具。

    二、數學教學中的信息技術

    當前，數學課堂上的信息技術過分倚重普適類信息技術，缺少數學味，更無法反映數學學科特點。信息技術的功能更多地體現在一般教學功能（如電子白板，PPT演示）、多媒體功能（如音樂、顏色）、淺層交互功能（如瀏覽頁面）等方面。針對數學教學的信息技術應該有專門的分類和討論。

    我們認為，按與教學內容相關程度分，用于數學教學的信息技術大致有三類。一是普適類的數學軟件。如計算機代數系統(tǒng)（簡稱CAS），數學百科電子詞典等。二是普適類的數學教學工具（或平臺）。如Z+Z智能平臺、幾何畫板、數學科目的題庫系統(tǒng)或備課系統(tǒng)等。三是反映特定數學教學內容的課件，包含了常見的CAI的七種類型[4]。如教學演示課件、微世界環(huán)境、微課視頻等。

    三類技術中，普適類數學軟件的數學功能最強，但教育功能最弱，通常需要教學加工。而課件，即第三類信息技術，比較關注信息技術的教學功能表現。信息技術應該是數學為基礎的工具還是教學為基礎的工具[5]？事實上，這兩者各有優(yōu)缺點，前者數學概念轉移能力弱，即教育性不足；后者難以作為學生的認知工具，且缺少通用性，軟件設計效益低。為了能彌合兩者的距離，專家們研究出了諸如Z+Z智能平臺之類的普適類數學教學工具。許多CAS在后來的版本中也加入了大量便于數學教學開發(fā)和加工的元素。針對特定內容的數學課件也在通用性上不斷增強，如注重探究性、交互性課件的開發(fā)等。

    三類信息技術都可以實現計算機對數學學習活動的三種水平的支持，即演示水平、驗證水平和探究水平，如數學工具中的大百科詞典可以作為資料支持或演示之用，而數學軟件包Mathematica可以作為數學探究環(huán)境。因此，由演示到探究也可以作為以上分類的另一個標準（或維度）。

    三類信息技術都能體現一定的數學功能與教育價值。但數學教學需要抽象、復雜的圖形圖像、數值及符號表達與處理，以滿足較高層次數學思維表征需求；需要嚴謹、精確和形式化的數學活動過程描述；需要豐富的與數學研究相適應的探索性認知環(huán)境。因而，我們認為，數學教學中的信息技術應以數學功能為基礎，在設計和開發(fā)目的、內容方面能反映數學學科特性，以更好地體現數學教育價值。
    三、信息技術的數學功能及其教育價值

    信息技術可以實現的數學功能很多。數學教學主要以圖形圖像呈現、數值計算與符號運算、編程等作為主要功能。數學教學中，它們的教育價值應

    該得到充分體現。下面以微積分教學為例進行闡述。

    1．圖形圖像演示

    總體而言，目前的數學教學，特別是概念教學是“重形式定義，輕意象表征”[6]的。由于擔心過多使用圖形圖像可能會影響抽象思維，許多教師不敢用。事實上，圖形圖像的適當運用能提高學習效率，也能體現教師的教學智慧。數學教學中的“圖形圖像”主要是函數繪圖和動態(tài)幾何圖形兩方面。它的作用主要是促進學生對概念和數學問題的整體理解，能幫助其洞察所學數學內容本質，尋找解決復雜問題的途徑。如教學導數概念時，需要將函數、其導函數及二階導數甚至更高階數的圖像進行比較、分析。用圖像來解釋復合函數求導法則、洛必達法則等也應該能在教材或教學中得到體現，讓學生理解用它們進行運算的合理性或理由，而不僅僅學習導數運算技能與技巧。

    2．數值計算

    傳統(tǒng)的數學教學更多表現的是數學的連續(xù)、形式化的一面，給學生留下抽象、脫離生活實際的印象。事實上，數值計算功能和繪圖功能一樣具有理解數學知識、探尋解題途徑等作用，理應得到重視[7]。數值化是由有限認識無限的重要方式，也是聯(lián)系一般化與特殊化的重要紐帶。運用數值表理解極限、用數據估計誤差、通過離散形態(tài)考察函數的連續(xù)性態(tài)、尋找數學反例等等都應該在教學中得到廣泛應用。微積分中的廣義積分與無窮級數、函數極限與數列極限的密切聯(lián)系更表明連續(xù)化與數值化應該融為一爐。教學實踐表明，數學過于形式化的表達反而看不清數學知識的本來面貌，而將這些內容轉化為具體的數值計算，會增進理解。例如，利用ε-δ定義證明函數極限時，學生都知道，關鍵要找出δ。他們也能熟練地利用放縮技巧和限定δ的方法進行操作，找到δ。但進一步問：能通過計算（通常情況下需要計算工具的支持），找到最大的δ？事先限定δ的鄰域能否再大一點？學生并不熟練。這時，只要給定幾個具體的ε值，計算出δ，學生會對證明過程有更深刻的認識，不至于依葫蘆畫瓢。

    3．符號運算

    符號運算是信息技術數學功能重要體現。比起數值計算，符號運算不必糾結于誤差控制。無論是輸入、處理還是顯示，它能更好地與注重形式化、符號化的數學學科相匹配，進而滿足學生在更高抽象層次上進行思考與探究，使形式化的符號也能成為學生高層次的數學認知基礎，也可以成為導引直覺與發(fā)現的材料，而不僅限于數值與圖形[1]。簡單地，如二項式定理中系數的探討。微積分教學中，符號運算的功能更能充分體現。如函數極限lim（x）=Af  x→xo定義可用計算機可識別的邏輯符號表達并運算：坌（εε＞0）→堝（δδ>0∧）坌（x0<|x-x0|<δ→|f（x） -A|<ε））），這有助于學生理解定義中的邏輯關系。

    4．編程

    編程并非只是計算機技術專業(yè)人員的事務。數學領域與計算機領域有著天然的聯(lián)系。數學教師了解算法、編程思想和一種計算機語言是必要的，也是可行的。程序設計是通向實驗數學之路[5]。僅僅通過一步到位的繪圖或計算并不能挖掘數學信息技術的教育潛力。有了編程可以表現教學中的更加復雜的活動過程（如添加參數調節(jié)，拖動數學對象等），可以把復雜、抽象的推理過程轉化為易理解的機械化過程（如選代，構造）。

    目前許多數學軟件或教學軟件提供的編程環(huán)境已變得非常簡單，復雜的數學功能只需一個簡單、封裝好的函數甚至可視化的控件對象即可實現，是一種廣義上的程序設計。這樣的編程環(huán)境有助于教師將編程重心放在信息技術的數學功能及教學功能表現方面，而不是過程化語言的構建技巧上。

    實際教學應該將幾種功能相結合（典型的如數形結合）才能更加充分發(fā)揮教育效能。目前許多專業(yè)的數學軟件或數學教學平臺已有一整套完善的界面交互設計功能，便于把教學設計用技術以“所見即所得”的方式表達出來。用它們制作數學功能強大、針對具體教學內容的課件也比傳統(tǒng)方法更容易一些。

    四、數學功能的兩種教學加工方式

    數學教學中，上述數學功能的教學加工方式大致有兩種：第一種方式是教學中常見的，即將教學內容及策略與數學功能融為一體，制作成固定操作和呈現模式的課件。第二種方式是教學內容及策略與數學功能分離。例如，學習“利用定積分求平面圖形面積”時，信息技術可以幫助師生完成這樣的工作：①給出任意兩個函數；②用計算機繪圖工具畫出它們圖形，觀察其形狀及交點個數；③用CAS求解方程，求出所有交點的坐標；④用CAS計算交點之間的積分；⑤求各段積分和。無論是函數繪圖、方程求解還是積分運算，數學功能的表現都是以獨立的工具存在，就像粉筆一樣。即使上述教學設計有所改變，如改變函數類型、個數，所需的數學功能或工具仍可適用。這無疑增強了信息技術應用的靈活性。

    信息技術的教育價值體現在具體的教學情境中。無論哪種方式，只要教師的教學設計與其所用的信息技術的潛在教育價值同步，就能很好地將數學形態(tài)的信息技術教育化。當前數學教學中，第一種加工方式雖然常見，制作和運用方法也很成熟。但這種加工方式不但效率不高，而且其固定性與封閉性不便于課件中的數學功能的靈活展現，不能滿足深層次數學思維的需求。因此，信息技術的數學功能應以更加開放的、獨立的形態(tài)得到應用，甚至以“無課件”的方式得到應用，就像直接用字處理軟件環(huán)境進行作文教學一樣。只有這樣，數學教學中的信息技術才可能真正成為學生的認知工具、思維工具。同時，這也是使數學教學與信息技術整合更加有效的重要手段。

    五、數學教學中的信息技術應用建議

    1．技術角度：既要了解各種數學功能的教學優(yōu)勢與缺陷，又要防止“功能固著”

    實現數學功能的各種信息技術有自己的傾向、偏見和內在屬性，這使它們在具體的教學任務中有比其它技術更加適用的地方。同時，現代信息技術與傳統(tǒng)教技術不一樣，具有功能不透明，發(fā)展變化快等特點。同樣的《幾何畫板》軟件，既可以用于作為制作演示課件的平臺，也可用于學習的探究；既可用于平面幾何，也可以用于解析幾何甚至大學數學的教學。智能教學平臺、CAS等更是如此。所以，教師在了解各種數學功能的同時，也要能不斷跟蹤數學信息技術發(fā)展狀況，努力挖掘信息技術的教學潛力。這對教師提出了較高的信息技術能力要求。

    2．教學角度：增進理解

    數學教學中，使用數學功能的目的多種多樣。但我們認為，促進學生理解所學知識的目的尤為重要。“說一個數學概念、方法或事實是徹底地理解了，是指它和現有的‘智力網絡’是由更強的或更多的聯(lián)系聯(lián)結著”。學生對抽象知識的內部表征應該以豐富、獨特、具體的形象存在。通過適當信息技術支持，可以將這些表征與聯(lián)系外化，加強聯(lián)結，促進“頓悟”與理解。數學學科內容較抽象。教學過程忽視理解，容易導致學生學習過程的機械化。而信息技術的數學功能能夠很好地實現這些重要數學概念或活動過程的符號、數值和圖形的表征與關聯(lián)。

    六、結束語

    數學學習內容的形式化、抽象性、嚴謹性，都會給學習者帶來學習上的困難。因此，教學活動需要利用信息技術的數學功能“淡化形式、注重實質”，提供即時驗證、反饋環(huán)境，在增進理解、強化應用和培養(yǎng)創(chuàng)新能力上下功夫，促進學生知識水平的垂直增長。教學實踐表明：基于數學功能的教學設計，可以讓教師從“用信息技術就是用課件”的臼窠中跳出來，真正把信息技術看成與黑板和粉筆一樣的教與學的工具，切實改進傳統(tǒng)數學教學的不足。如部分內容可以按歷史或認知順序進行教學，而不僅僅依靠邏輯順序；實現抽象知識的表征多元化與聯(lián)結；更好地處理合情推理與演繹推理、一般化與特殊化、具體與抽象的矛盾關系；把學生自主探究、解決實際問題能力的培養(yǎng)落到實處等等。

    ———————————————參考文獻

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