發(fā)布時間：2020-11-05 23:48

　　 本文主要研究了幾類具源項和p(x)-Laplace算子的(偽)拋物方程解的性質(zhì).主要討論了非局部源、對數(shù)非線性源和變指數(shù)源對方程解的存在性和爆破性的影響.本文內(nèi)容共分為四章.第一章為緒論.我們首先介紹了本文所研究問題的實際背景和國內(nèi)外相關(guān)的研究工作,其次闡述了所要研究的問題和使用的方法.第二章,我們研究具非局部源的p-Laplace方程的初邊值問題(?)其中T0,為RN(N≥ 1)中的有界區(qū)域,(?)Ω為Ω的光滑邊界,n是(?)Ω的單位外法向量.初值u0(x)滿足u0(x)∈L∞(Ω)∩W1,p(Ω),u0(x)(?)0,∫Ωu0(x)dx=0.指數(shù)p和q均為實數(shù),并且滿足p2,qp-1.2013年,Qu和Liang[1]已經(jīng)研究了問題(1).他們結(jié)合Sobolev嵌入定理W1,p(Ω)→)Lq+1(Ω)證明了當(dāng)指數(shù)q滿足p-1q≤Np/(N-p)+-1,并且初始能量滿足適當(dāng)條件時,問題(1)的解在有限時刻爆破.本章的難點是當(dāng)qNp/N-p-1(pN)時,Sobolev嵌入定理W1,p(Ω)→Lq+1(Ω)不再成立,這使得文獻(xiàn)[1]中的方法不再適用.在這一章,我們將構(gòu)造一個新的控制函數(shù),結(jié)合由Levine和Payne[2,3]提出的凹方法證明對任意qp-11和適當(dāng)?shù)某跏寄芰?問題(1)的解在有限時刻爆破.第三章,我們研究具對數(shù)非線性源和p-Laplace算子的四階方程的初邊值問題(?)其中T0,Ω為RN(N≥1)中的有界區(qū)域,(?)Ω為Ω的光滑邊界,n是(?)Ω的單位外法向量.初值u0∈H02(Ω),并且指數(shù)p滿足2p∞,N=1,2;2p2N/N-2,N≥3.一般情況下,對于高階方程來說,沒有所謂的極值原理和比較原理,這導(dǎo)致不能利用上下解等方法研究問題(2).又因為由▽un弱收斂于▽u不能直接推出div(|▽un|p-2▽un)弱收斂于div(|▽u|p-2▽u),這給研究問題(2)造成了一定的困難.再者,對數(shù)非線性項|u|p-2u log |u|的存在導(dǎo)致我們不能直接利用位勢井方法.在這一章,首先,對于初始能量為次臨界和臨界的情形,我們結(jié)合Galerkin方法、Sobolev型對數(shù)不等式、改進(jìn)的位勢井理論和凹方法研究問題(2)的解的整體存在性、爆破性和熄滅性.其次,對于初始能量為超臨界的情形,我們基于Gazzola和Weth[4]的想法給出問題(2)的解整體存在和在有限時刻爆破的一個充分條件.最后,我們給出一個新的爆破條件(不依賴于位勢井井深),并且給出爆破時間的上界和下界估計.第四章,我們考慮具變指數(shù)源和p(x)-Laplace算子的偽拋物方程的初邊值問題(?)其中T0,Ω為RN(N≥1)中的有界區(qū)域,(?)Ω為Ω的光滑邊界.初值u0∈W01,p(x)(Ω)∩H01(Ω).指數(shù)p(x)和q(x)是Ω上的log-Holder連續(xù)函數(shù),即p(x)和q(x)可測且滿足(?)(?)并且對Ω中任意兩個不同的點x,y滿足|p(x)-p(y)|+|q(x)-q(y)|≤c/log(c+1/|x-y)'其中c是正常數(shù).目前,對于這種具偽拋物粘性項△ut和變指數(shù)源項的方程的研究相對較少.特別地,變指數(shù)的存在給我們的研究工作帶來了很大的困難.2017年,Di,Shang和Peng[5]首次研究了問題(3).他們利用微分不等式技術(shù)證明了當(dāng)初始能量非正時,解在有限時刻爆破.同時,他們給出了爆破時間的上界和下界估計.然而,他們沒有對問題(3)的解的其它性質(zhì)進(jìn)行討論.在這一章,首先,我們借助能量泛函和嵌入定理證明當(dāng)初始能量有限時,問題(3)的解在有限時刻爆破;通過定義一些泛函和集合,構(gòu)造一個ω-極限集討論了對任意高的初始能量解的爆破問題;結(jié)合由Khelghati和Baghaei[6]提出的凹方法的擴(kuò)展形式和微分不等式技術(shù),證明了當(dāng)初始能量為正且對指數(shù)q(x)沒有上界限制時,問題(3)的解在有限時刻爆破.其次,建立了能量泛函和源項之間的定性關(guān)系,利用一個關(guān)鍵的積分不等式證明了p ≥2時問題(3)的整體解是漸近穩(wěn)定的.最后,結(jié)合Galerkin方法、Aubin-Lions-Simon緊性引理和單調(diào)算子理論,證明了當(dāng)q+2時,問題(3)存在唯一的整體弱解,進(jìn)而討論了解的非熄滅和熄滅性。
【學(xué)位單位】：吉林大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位年份】：2020
【中圖分類】：O175.26;O177
【文章目錄】：
摘要
Abstract
第1章 緒論
    1.1 研究背景及進(jìn)展概況
    1.2 本文主要內(nèi)容概述
第2章 具非局部源的p-Laplace方程
    2.1 問題介紹
    2.2 解的爆破性
第3章 具對數(shù)非線性源和p-Laplace算子的四階拋物方程
    3.1 問題介紹
    3.2 位勢井族的引入和基本引理
0）    3.3 初始能量J（u₀）
0）=d'>    3.4 初始能量J（u₀）=d
0）>d'>    3.5 初始能量J（u₀）>d
    3.6 爆破時間的上界和下界估計
第4章 具變指數(shù)源和p（x）-Laplace算子的偽拋物方程
    4.1 問題介紹
    4.2 變指數(shù)函數(shù)空間
    4.3 解的爆破性
    4.4 解的長時間漸近行為
    4.5 解的整體存在性和熄滅性
    4.6 注記
參考文獻(xiàn)
作者簡介及在學(xué)期間所取得的科研成果
致謝

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本文編號：2872370

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