發(fā)布時間：2024-02-20 18:09

　　高階非線性微分方程是一類重要的數(shù)學(xué)模型,可以刻畫很多學(xué)科領(lǐng)域中的現(xiàn)象,由于其實用性強,一直備受關(guān)注.本文研究了一類具有不同實際背景的四階非線性拋物方程的數(shù)值解法,主要用B樣條有限元法對兩種四階項帶有變系數(shù)的四階非線性方程進行求解,又分析了其中一種方程的常系數(shù)情形的有限體積元法.對前者,四階項帶有變系數(shù)的模型的適用性更廣,理論分析難度更大.我們對變系數(shù)進行一些處理解決所遇到的困難,而這些困難是四階項系數(shù)為常數(shù)時所沒有的.對后者,充分考慮到有限體積元法的特殊性,構(gòu)造了相適應(yīng)的有限體積元格式.首先,本文研究了四階主項帶有變系數(shù)的非線性拋物方程的三次B樣條有限元法.此前,有研究者分析過該方程的常系數(shù)情形的Hermite三次有限元法,我們將四階項的系數(shù)由常數(shù)拓展成變系數(shù),使方程的適用范圍擴大.三次B樣條有限元格式的剛度矩陣的帶寬為7,其階數(shù)僅僅是Hermite三次有限元格式的一半.證明半離散解的有界性時,我們采用先積分后放縮的技巧處理四階主項,解決了難點.借助有界性推導(dǎo)誤差估計,L²模的收斂精度是三階,H²半模達到二階.關(guān)于時間變量的離散,選用了線性化...

【文章頁數(shù)】：92 頁

【學(xué)位級別】：博士

【部分圖文】：

圖2.1問題(2.49)的真解的圖像.

這里,α(x,t)=1+xt,u0(x)=0.我們將解析解取為u(x,t)=t2(1-cos2πx),用Matlab繪制方程(2.49)真解的圖像如圖2.1所示.通過數(shù)值計算,可以得到方程(2.49)從t=0到t=1之間的數(shù)值解,圖像如圖2.2.

圖2.2問題(2.49)的數(shù)值解的圖像.

表格2.3給出時間步長和空間步長同時變化時的相關(guān)數(shù)據(jù),誤差隨著步長的改變而改變.此處,時間步長與空間步長滿足一定的比例關(guān)系,按?t=h3,我們將(?t,h)分別取為(1/1000,1/10),(1/8000,1/20),(1/64000,1/40),(1/512000,1....

圖3.1問題(3.81)的真解的圖像.

由于模型中存在關(guān)于時間變量和空間變量的變系數(shù)α(x,t),因而在構(gòu)造全離散格式時會出現(xiàn)更多可能性,本文計算了三種不同全離散格式解的誤差以及收斂階.格式1即本章前面討論的格式,格式2是一種線性化的向后Euler格式,格式3是基于中心差商的格式,但是格式3與格式1對四階主項的離散形式....

圖3.2問題(3.81)的數(shù)值解的圖像.

在表格3.2中,取定空間步長為h=1/1000.讓時間步長發(fā)生變化,此時,誤差也隨之變化.我們發(fā)現(xiàn),在L2和H2模下,全離散格式解的收斂階都是O((?t)2).在表格3.3中,按?t=h2,我們將時間步長和空間步長(?t,h)分別取作(1/100,1/10),(1/400,1/2....

本文編號：3904372