發(fā)布時間：2020-10-30 11:24

　　 近年來,隨著對自然科學和社會科學中各種復(fù)雜系統(tǒng)的深入研究,分數(shù)階微積分在反常擴散、黏彈性力學、軟物質(zhì)、電磁學、系統(tǒng)控制、生物醫(yī)學、經(jīng)濟學等諸多領(lǐng)域有了許多成功的應(yīng)用,有關(guān)其理論和應(yīng)用的研究在國際上已成為熱點。分數(shù)階微分方程在描述一些具有記憶性或非局部性質(zhì)的過程或材料時比整數(shù)階微分方程模型更有優(yōu)勢,其解析解通常難以獲得且大多含有計算困難的特殊函數(shù),這激發(fā)了廣大研究者從事分數(shù)階系統(tǒng)數(shù)值求解的興趣。當前求解分數(shù)階擴散-波動方程、分數(shù)階變分問題及分數(shù)階最優(yōu)控制問題的數(shù)值方法主要集中于有限差分方法,其存儲要求高,計算量大,精度低。又因sinc函數(shù)和分數(shù)次Jacobi多項式在逼近許多特殊函數(shù)時具有指數(shù)階收斂性,故本文充分利用它們的這種優(yōu)點,采用它們作為基函數(shù),發(fā)展了求解分數(shù)階擴散-波動方程初邊值問題、分數(shù)階變分問題及分數(shù)階最優(yōu)控制問題的高精度數(shù)值方法。主要內(nèi)容和成果如下:第一章介紹了分數(shù)階微積分和分數(shù)階擴散-波動方程、分數(shù)階變分問題與分數(shù)階最優(yōu)控制問題及其求解方法的研究背景和現(xiàn)狀,提出了本文的研究動機,并簡要列出了全文的研究內(nèi)容和結(jié)構(gòu)。第二章首先介紹了與論文相關(guān)的一些特殊函數(shù)和Jacobi正交多項式,然后對三種常用的分數(shù)階微積分的基本概念及其若干性質(zhì)進行了闡述。第三章結(jié)合有限差分方法和sinc配置逼近對一類分數(shù)階擴散-波動方程的初邊值問題進行了數(shù)值求解。首先利用有限差分方法在時間方向上對原問題進行了半離散化,然后在空間方向上采用sinc配置法得到了全離散格式。根據(jù)sinc函數(shù)的一些性質(zhì),在每個時間步上,原問題被簡化為求解線性代數(shù)方程系統(tǒng)。該方法的穩(wěn)定性和收斂性理論被嚴格建立,并通過數(shù)值試驗證實了理論結(jié)果。接下來,從積分形式的主方程出發(fā)導(dǎo)出了標準的分數(shù)階擴散方程,證明了該積分形式的主方程與連續(xù)時間隨機游走(CTRW)模型是等價的,并采用sinc-Chebyshev配置方法對前述分數(shù)階擴散方程和分數(shù)階擴散-波動方程進行了數(shù)值求解。數(shù)值例子驗證了該方法的可行性和高效性。特別地,當在sinc配置方法中引入雙指數(shù)變換時,空間方向的精度得到了較大提高。第四章發(fā)展了一種指數(shù)精度的Rayleigh-Ritz方法求解分數(shù)階變分問題�；�于分數(shù)階Sturm-Liouville特征問題的分數(shù)次Jacobi多項式被用來作為基函數(shù)以逼近分數(shù)階變分問題的真解,并通過Rayleigh-Ritz技術(shù)得到了與原問題相關(guān)的線性代數(shù)方程系統(tǒng)。進一步分析了該方法的分數(shù)階變分的收斂性,并通過數(shù)值試驗證實了該方法具有指數(shù)收斂。所發(fā)展的方法在精度上優(yōu)于當前各文獻中提出的方法,并具有較低的存儲要求。第五章討論了一類廣義分數(shù)階最優(yōu)控制問題的數(shù)值求解。首先通過分數(shù)階變分法導(dǎo)出了該問題的必要條件,得到了相應(yīng)的分數(shù)階Hamilton系統(tǒng)。進一步,針對實際應(yīng)用中廣泛出現(xiàn)的具有二次型性能指標的分數(shù)階線性系統(tǒng)最優(yōu)控制問題,給出了一種基于移位分數(shù)次Jacobi多項式的數(shù)值求解方法,分析了其分數(shù)階變分的收斂性。數(shù)值試驗證實了該方法具有指數(shù)精度。
【學位單位】：湘潭大學
【學位級別】：博士
【學位年份】：2015
【中圖分類】：O241.82
【部分圖文】：

圖 2.1 Gamma函數(shù)在區(qū)間( 5,5]上的圖形Beta函數(shù)t函數(shù)又稱為第一類歐拉積分，其定義如下。.2 對任意Re(z) > 0,Re(ω) > 0，Beat函數(shù)B(z,ω)定義為B(z, ω) =∫10τz 1(1 τ )ω 1dτ. 了Beat函數(shù)的三維圖形。Beta函數(shù)滿足如下性質(zhì)：Beta函數(shù)關(guān)于變量z、ω對稱，通過變量變換可得B(z,ω) = B(ωBeta函數(shù)與Gamma函數(shù)之間的關(guān)系為B(z, ω) =Γ(z)Γ(ω)Γ(z + ω).

數(shù)Mittag-Leffler函數(shù)Eα(z)。在圖2.3中，展示了α取不同值時單參數(shù)Mittag-Leffler函數(shù)的曲線。Mittag-Leffler函數(shù)滿足如下性質(zhì)：（1）對任意|z| < 1，廣義Mittag-Leffler函數(shù)滿足∫∞0e ttβ 1Eα,β(tαz)dt =1z 1.（2）單參數(shù)Mittag-Leffler函數(shù)對任意z ∈ C收斂。（3）對任意|z| < 1，單參數(shù)Mittag-Leffler函數(shù)的Laplace變換滿足∫∞0e ztEα(zα)dt =1z z1 α.

圖 2.4 sinc函數(shù)在區(qū)間[ 6,6]上的圖形對任意的h > 0，下面給出帶有均勻網(wǎng)格節(jié)點的移位sinc函數(shù)的表達式S(k, h)(z) = sinc(z khh), k = 0, ±1, ±2, . . . . (2.1函數(shù)在插值節(jié)點xj= jh處有如下結(jié)論S(k, h)(jh) = δkj={1, k = j,0, k = j.于函數(shù)f(x),x ∈ R，若級數(shù)C(f, h)(x) =∑k∈Zf(kh)S(k, h)(x)斂，則稱該級數(shù)為f(x)的Whittaker函數(shù)，并有如下定理。
【參考文獻】

相關(guān)期刊論文 前2條

1 徐明瑜;譚文長;;中間過程、臨界現(xiàn)象——分數(shù)階算子理論、方法、進展及其在現(xiàn)代力學中的應(yīng)用[J];中國科學G輯:物理學、力學、天文學;2006年03期

2 常福宣,陳進,黃薇;反常擴散與分數(shù)階對流-擴散方程[J];物理學報;2005年03期

本文編號：2862402