發(fā)布時間：2014-07-24 11:49

　　本文主要考慮將懲罰區(qū)域增收的保費用添加免賠額的方式替代的獎懲系統(tǒng)， 研究該系統(tǒng)中投保人的最優(yōu)自留額的確定問題，并分析了系統(tǒng)平均最優(yōu)自留額與免賠額之間的關(guān)系。

 

　　2 相關(guān)變量及假設(shè)

 

　　設(shè)一個獎懲系統(tǒng)有�玸個等級，等級i的獎懲系數(shù)為C�璱,i=1,2,3,…，s，本文采用�獿emaire關(guān)于BMS��平均最優(yōu)自留額分析的基本假設(shè)：

 

　　經(jīng) 濟 數(shù) 學(xué)第 29卷第1期孫景云等：帶有免賠額調(diào)整的車險獎懲系統(tǒng)及其最優(yōu)自留額

 

　　1）設(shè)每個投保人的事故發(fā)生次數(shù)服從參數(shù)為λ的�玃oisson��過程，設(shè)每次的損失金額為隨機變量X，其分布函數(shù)為F（x），密度函數(shù)為f（x），且事故發(fā)生次數(shù)與損失額相互獨立；

 

　　2）保單組合中不含有新增保單，也不會有退保保單；

 

　　3）自留額的計算是建立在無限時域假設(shè)之下，即保單持有人將永遠開車并投保；

 

　　4）使用年中折現(xiàn)因子β，認為所有賠款都發(fā)生在每個保險年度的中點；

 

　　5）P是基礎(chǔ)保費，即獎懲系數(shù)等于1時的毛保費，其中包含了安全附加，管理費用等；

 

　　6）1－t為到下一保單年度的剩余時間，t（0≤＜1）是投保人決定是否向保險公司報告索賠的決策��時刻；

 

　　7）m是在時間段［0,t］內(nèi)當期已經(jīng)報告的索賠次數(shù)。

 

　　在有些獎懲系統(tǒng)（特別是最優(yōu)獎懲系統(tǒng)中）的懲罰等級中收取的保費要比初始保費高很多，有的甚至能達到2~3倍（參見文獻［4］）。這種情況下會導(dǎo)致某些投保人轉(zhuǎn)向其他保險公司，文獻［4］利用無差別原理將懲罰級別中的增收保費的部分或全部用添加免賠額的方式來轉(zhuǎn)變懲罰方式，從而盡可能避免了保單轉(zhuǎn)移，還可以減少小額賠款帶來的大量管理費用。免賠額的類型通常有兩種，一種是對每個保單一年內(nèi)總索賠的年免賠額，另一種是對每個保單每次的索賠設(shè)置次免賠額。本文所涉及的免賠額為次免賠額，采用類似文獻［4］的思想，對一個有s個等級的獎懲系統(tǒng)，若從第k+1個等級開始，獎懲系數(shù)C�璱＞1,i=k+1, k+2,…，s，利用無差別原理，根據(jù)增收保費轉(zhuǎn)移比例確定不同等級次免賠額d�璱,i=k+1,k+2, …，s.若將增收保費中比例為α（0≤α≤1）的部分用添加次免賠額的方式替代，則懲罰級別中的免賠額可用下式確定

 

　　C�璱P=P��*�璱+λE［�玬in�珄X,d�璱}］，（1）

 

　　其中，P��*�璱=P+（C�璱-1）P（1-α）是保險公司對處于第i等級投保人實際收取的保費，化簡得

 

　�。–�璱－1）Pα=λE［XX＜d�璱］·p{X＜d�璱}

 

　　+λd�璱·p{X＞d�璱}.（2）

 

　　顯然，不管α取什么值，對前k個獎勵等級，可認為d�璱=0,i=1,2,…，k，懲罰等級中的免賠額可由式（2）算出（有些情況下需要數(shù)值計算）。當α=0時，增收的保費并沒有用免賠額替代，故所有等級d�璱=0;而當α=1時，說明懲罰級別中的增收的保費全部用免賠額替代了。

 

　　設(shè)R=（r��1,r��2,r��3,…，r�璼）是系統(tǒng)的最優(yōu)自留額向量，即若投保人按照該向量決策，處在等級i的投保人，只有當實際的損失超過r�璱時才會向保險公司報告索賠。顯然，當i=1,2,3,…，k時，r�璱≥0;當i=k+1,k+2,…，s時，應(yīng)有r�璱≥d�璱.

 

　　3 最優(yōu)自留額的計算

 

　　對于事故發(fā)生頻率為λ的保單組合，在一個保險期內(nèi)發(fā)生次數(shù)服從參數(shù)為λ的�玃oisson��分布，設(shè)事故發(fā)生k次的概率為P�璳（λ），處于第i等級的投保人若嚴格按照最優(yōu)自留額向量決策，則其不向保險公司報告損失的概率為P�璱，則P�璱=p{X≤r�璱}，在一個保險期中報告k次損失的概率為�㏄�琲�璳（λ），則

 

　　�И㏄�琲�璳（λ）=∑∞h=kP�環(huán)（λ）�獵���琸�環(huán)（1-P�璱）�琸Ph-k�璱.（3）

 

　　從而在一個保險期內(nèi)報告的索賠次數(shù)的期望為��λ�璱=∑∞�﹌=0k�㏄�琲�璳（λ）。根據(jù)�玃oisson��過程的隨機稀疏定理， 易知��λ�璱=λ（1－P�璱），即投保人向保險公司索賠的次數(shù)服從參數(shù)為λ（1－P�璱）的�玃oisson��過程。一次未報告索賠額的期望值為

 

　　E�琲［X］=E［XX＜r�璱］=1P�璱��∫r�璱��0xf（x）�玠�玿.（4）

 

　　由于假設(shè)事故發(fā)生次數(shù)與損失額相互獨立，則投保人支付的未報告索賠額為E�琲［X］（λ－��λ�璱），從而在第i個等級中的投保人在一個保險期內(nèi)支付的期望總費用的現(xiàn)值為

 

　　E［TC�璱］=C�璱P+β12E�琲［X］（λ－��λ�璱），

 

　　i=1,2,…，筆耕文化傳播，k;P��*�璱+β12E�琲［X］（λ－��λ�璱）+β12��λ�璱d�璱, i=k+1,k+2,…，s. （5）

 

　　設(shè)V�璱（λ）表示第i等級投保人未來所有期望支付的貼現(xiàn)值， 即

 

　　V�璱（λ）=E［TC�璱］+β∑∞�﹌=0�㏄�琲�璳（λ）V���㏕�璳（i）（λ）。 （6）

 

　　這里T�璳（i）=j表示等級為i的投保人在一個保險期發(fā)生k次索賠后處于第j等級。 設(shè)投保人在時刻t發(fā)生損失為x時，已有m次索賠，此時將面臨兩種選擇：

 

　　1）若報告索賠，此時總費用的期望值為

 

　　β－tE［TC�璱］+�玬in�� {x,d�璱}

 

　　+β1－t∑∞�﹌=0�㏄�琲�璳［λ（1－t）］V���㏕���﹌+m+1（i）（λ）。（7）

 

　　2）若不報告索賠， 此時總費用的期望值為

 

　　β－tE［TC�璱］+x+β1－t∑∞�﹌=0�㏄�琲�璳［λ（1－t）］V���㏕���﹌+m（i）（λ）。 （8）

 

　　最優(yōu)自留額的選取應(yīng)使上述兩種行為在總費用上結(jié)果相等， 即式（7）=式（8）， 從而滿足方程

 

　　x－�玬in�� {x,d�璱}=β1－t∑∞�﹌=0�㏄�琲�璳［λ（1－t）］·

 

　�。踁���㏕���﹌+m+1（i）（λ）－V���㏕���﹌+m（i）（λ）］。

 

　　令x=r�璱，又因r�璱≥d�璱，即

 

　　r�璱=d�璱+β1－t∑∞�﹌=0�㏄�琲�璳［λ（1－t）］·

 

　�。踁���㏕���﹌+m+1（i）（λ）－V���㏕���﹌+m（i）（λ）］。 （9）

 

　　要計算出最優(yōu)自留額的具體數(shù)值需要使用迭代算法， 具體的迭代過程為：

 

　　步驟1 設(shè)初始自留額向量為R��0=（0,0,…，0,d���﹌+1,d���﹌+2,…，d�璼）， 即只要超過免賠額的損失都向保險公司索賠，此時式（6）可轉(zhuǎn)換為形式：

 

　　V［0］�璱（λ）=C�璱P+β∑∞�﹉=0P�環(huán)（λ）V���㏕�環(huán)（i）（λ），

 

　　i=1,2,…，k;

 

　　P��*�璱+β12λ［��∫d�璱��0xf（x）�玠�玿+（1－P��'�璱）d�璱］

 

　　+β∑∞�﹌=0�琲�璳（λ）V���㏕�璳（i）（λ），

 

　　i=k+1,k+2,…，s， （10）

 

本文編號：5254