車險(xiǎn)獎(jiǎng)懲系統(tǒng)及最優(yōu)化方案探討
本文主要考慮將懲罰區(qū)域增收的保費(fèi)用添加免賠額的方式替代的獎(jiǎng)懲系統(tǒng), 研究該系統(tǒng)中投保人的最優(yōu)自留額的確定問題,并分析了系統(tǒng)平均最優(yōu)自留額與免賠額之間的關(guān)系。
2 相關(guān)變量及假設(shè)
設(shè)一個(gè)獎(jiǎng)懲系統(tǒng)有s個(gè)等級(jí),等級(jí)i的獎(jiǎng)懲系數(shù)為Ci,i=1,2,3,…,s,本文采用Lemaire關(guān)于BMS平均最優(yōu)自留額分析的基本假設(shè):
經(jīng) 濟(jì) 數(shù) 學(xué)第 29卷第1期孫景云等:帶有免賠額調(diào)整的車險(xiǎn)獎(jiǎng)懲系統(tǒng)及其最優(yōu)自留額
1)設(shè)每個(gè)投保人的事故發(fā)生次數(shù)服從參數(shù)為λ的Poisson過程,設(shè)每次的損失金額為隨機(jī)變量X,其分布函數(shù)為F(x),密度函數(shù)為f(x),且事故發(fā)生次數(shù)與損失額相互獨(dú)立;
2)保單組合中不含有新增保單,也不會(huì)有退保保單;
3)自留額的計(jì)算是建立在無限時(shí)域假設(shè)之下,即保單持有人將永遠(yuǎn)開車并投保;
4)使用年中折現(xiàn)因子β,認(rèn)為所有賠款都發(fā)生在每個(gè)保險(xiǎn)年度的中點(diǎn);
5)P是基礎(chǔ)保費(fèi),即獎(jiǎng)懲系數(shù)等于1時(shí)的毛保費(fèi),其中包含了安全附加,管理費(fèi)用等;
6)1-t為到下一保單年度的剩余時(shí)間,t(0≤<1)是投保人決定是否向保險(xiǎn)公司報(bào)告索賠的決策時(shí)刻;
7)m是在時(shí)間段[0,t]內(nèi)當(dāng)期已經(jīng)報(bào)告的索賠次數(shù)。
在有些獎(jiǎng)懲系統(tǒng)(特別是最優(yōu)獎(jiǎng)懲系統(tǒng)中)的懲罰等級(jí)中收取的保費(fèi)要比初始保費(fèi)高很多,有的甚至能達(dá)到2~3倍(參見文獻(xiàn)[4])。這種情況下會(huì)導(dǎo)致某些投保人轉(zhuǎn)向其他保險(xiǎn)公司,文獻(xiàn)[4]利用無差別原理將懲罰級(jí)別中的增收保費(fèi)的部分或全部用添加免賠額的方式來轉(zhuǎn)變懲罰方式,從而盡可能避免了保單轉(zhuǎn)移,還可以減少小額賠款帶來的大量管理費(fèi)用。免賠額的類型通常有兩種,一種是對(duì)每個(gè)保單一年內(nèi)總索賠的年免賠額,另一種是對(duì)每個(gè)保單每次的索賠設(shè)置次免賠額。本文所涉及的免賠額為次免賠額,采用類似文獻(xiàn)[4]的思想,對(duì)一個(gè)有s個(gè)等級(jí)的獎(jiǎng)懲系統(tǒng),若從第k+1個(gè)等級(jí)開始,獎(jiǎng)懲系數(shù)Ci>1,i=k+1, k+2,…,s,利用無差別原理,根據(jù)增收保費(fèi)轉(zhuǎn)移比例確定不同等級(jí)次免賠額di,i=k+1,k+2, …,s.若將增收保費(fèi)中比例為α(0≤α≤1)的部分用添加次免賠額的方式替代,則懲罰級(jí)別中的免賠額可用下式確定
CiP=P*i+λE[min{X,di}],(1)
其中,P*i=P+(Ci-1)P(1-α)是保險(xiǎn)公司對(duì)處于第i等級(jí)投保人實(shí)際收取的保費(fèi),化簡(jiǎn)得
。–i-1)Pα=λE[XX<di]·p{X<di}
+λdi·p{X>di}.(2)
顯然,不管α取什么值,對(duì)前k個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)等級(jí),可認(rèn)為di=0,i=1,2,…,k,懲罰等級(jí)中的免賠額可由式(2)算出(有些情況下需要數(shù)值計(jì)算)。當(dāng)α=0時(shí),增收的保費(fèi)并沒有用免賠額替代,故所有等級(jí)di=0;而當(dāng)α=1時(shí),說明懲罰級(jí)別中的增收的保費(fèi)全部用免賠額替代了。
設(shè)R=(r1,r2,r3,…,rs)是系統(tǒng)的最優(yōu)自留額向量,即若投保人按照該向量決策,處在等級(jí)i的投保人,只有當(dāng)實(shí)際的損失超過ri時(shí)才會(huì)向保險(xiǎn)公司報(bào)告索賠。顯然,當(dāng)i=1,2,3,…,k時(shí),ri≥0;當(dāng)i=k+1,k+2,…,s時(shí),應(yīng)有ri≥di.
3 最優(yōu)自留額的計(jì)算
對(duì)于事故發(fā)生頻率為λ的保單組合,在一個(gè)保險(xiǎn)期內(nèi)發(fā)生次數(shù)服從參數(shù)為λ的Poisson分布,設(shè)事故發(fā)生k次的概率為Pk(λ),處于第i等級(jí)的投保人若嚴(yán)格按照最優(yōu)自留額向量決策,則其不向保險(xiǎn)公司報(bào)告損失的概率為Pi,則Pi=p{X≤ri},在一個(gè)保險(xiǎn)期中報(bào)告k次損失的概率為Pik(λ),則
Pik(λ)=∑∞h=kPh(huán)(λ)Ckh(huán)(1-Pi)kPh-ki.(3)
從而在一個(gè)保險(xiǎn)期內(nèi)報(bào)告的索賠次數(shù)的期望為λi=∑∞k=0kPik(λ)。根據(jù)Poisson過程的隨機(jī)稀疏定理, 易知λi=λ(1-Pi),即投保人向保險(xiǎn)公司索賠的次數(shù)服從參數(shù)為λ(1-Pi)的Poisson過程。一次未報(bào)告索賠額的期望值為
Ei[X]=E[XX<ri]=1Pi∫ri0xf(x)dx.(4)
由于假設(shè)事故發(fā)生次數(shù)與損失額相互獨(dú)立,則投保人支付的未報(bào)告索賠額為Ei[X](λ-λi),從而在第i個(gè)等級(jí)中的投保人在一個(gè)保險(xiǎn)期內(nèi)支付的期望總費(fèi)用的現(xiàn)值為
E[TCi]=CiP+β12Ei[X](λ-λi),
i=1,2,…,筆耕文化傳播,k;P*i+β12Ei[X](λ-λi)+β12λidi, i=k+1,k+2,…,s. (5)
設(shè)Vi(λ)表示第i等級(jí)投保人未來所有期望支付的貼現(xiàn)值, 即
Vi(λ)=E[TCi]+β∑∞k=0Pik(λ)VTk(i)(λ)。 (6)
這里Tk(i)=j表示等級(jí)為i的投保人在一個(gè)保險(xiǎn)期發(fā)生k次索賠后處于第j等級(jí)。 設(shè)投保人在時(shí)刻t發(fā)生損失為x時(shí),已有m次索賠,此時(shí)將面臨兩種選擇:
1)若報(bào)告索賠,此時(shí)總費(fèi)用的期望值為
β-tE[TCi]+min {x,di}
+β1-t∑∞k=0Pik[λ(1-t)]VTk+m+1(i)(λ)。(7)
2)若不報(bào)告索賠, 此時(shí)總費(fèi)用的期望值為
β-tE[TCi]+x+β1-t∑∞k=0Pik[λ(1-t)]VTk+m(i)(λ)。 (8)
最優(yōu)自留額的選取應(yīng)使上述兩種行為在總費(fèi)用上結(jié)果相等, 即式(7)=式(8), 從而滿足方程
x-min {x,di}=β1-t∑∞k=0Pik[λ(1-t)]·
。踁Tk+m+1(i)(λ)-VTk+m(i)(λ)]。
令x=ri,又因ri≥di,即
ri=di+β1-t∑∞k=0Pik[λ(1-t)]·
[VTk+m+1(i)(λ)-VTk+m(i)(λ)]。 (9)
要計(jì)算出最優(yōu)自留額的具體數(shù)值需要使用迭代算法, 具體的迭代過程為:
步驟1 設(shè)初始自留額向量為R0=(0,0,…,0,dk+1,dk+2,…,ds), 即只要超過免賠額的損失都向保險(xiǎn)公司索賠,此時(shí)式(6)可轉(zhuǎn)換為形式:
V[0]i(λ)=CiP+β∑∞h=0Ph(huán)(λ)VTh(huán)(i)(λ),
i=1,2,…,k;
P*i+β12λ[∫di0xf(x)dx+(1-P'i)di]
+β∑∞k=0ik(λ)VTk(i)(λ),
i=k+1,k+2,…,s, (10)
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